ФЭНДОМ


Задание 1Править

Найти производную функции одной переменной, исходя из определения производной.

2. y= \frac{3}{5x+4}

y'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{3}{5(x+ \Delta x)+4} - \frac{3}{5x+4}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(5x+4)-3(5(x+ \Delta x)+4)}{(5(x+ \Delta x)+4)(5x+4)\Delta x}=

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{-15 \Delta x}{(5(x+ \Delta x)+4)(5x+4)\Delta x}=- \frac{15}{(5x+4)^2}


Задание 2Править

Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

Вариант 4.

1. y=5x^2-\arcsin x

y'=10x - \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}

2. y=\sqrt[3]{x^2} \ln x

y'= (\sqrt[3]{x^2})' \ln x + \sqrt[3]{x^2} (\ln x)'= \frac {2}{3 \sqrt[3]{x}} \ln x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}

3. y= \frac {\sqrt[3]{x^4}}{e^x}

y'= \frac{(\sqrt[3]{x^4})'e^x-\sqrt[3]{x^4}(e^x)'}{(e^x)^2}=\frac{\frac{4}{3} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x^4}}{e^x}

4. 
\begin{cases}
 x=\mathrm{tg} \, t^2 \\
 y=t^2 - 5 \\
\end{cases}

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} : \frac {dx}{dt} = \frac{2t}{2t(\mathrm{tg}^2\, t^2+1)} = \frac{1}{\mathrm{tg}^2\, t^2+1}=\frac{1}{x^2+1}

Задание 3Править

Составить уравнение касательной и нормали к графику кривой y=f(x) в точке, абсцисса которой равна x_0.

6. y=3 \sqrt[3]{x^2}-2x+2 \qquad x_0=1

Касательная задается уравнением y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)

f'(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-2 \quad f'(1)=0

Касательная прямая: y=3.

Нормаль ортогональна касательной, проходит через эту же точку: x=1.

Задание 4Править

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

11. \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\ln x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)'}{(\ln x)'} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} x = 1

Задание 5Править

Построить график функции y=f(x), используя общую схему исследования функции.

20. y=\frac{2x^2-8x+9}{x^2-3x+3}

Область определения: x^2-3x+3 \neq 0 \Rightarrow x \in \R.

Функция не является ни симметричной, ни периодической.

Поведение на бесконечности: \lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty} f(x)= 2.

Так как знаменатель не обращается в 0, вертикальных асимптот нет; есть горизонтальная асимптота y=2.

Пересечение с координатными осями:

2x^2-8x+9 > 0 \Rightarrow нет пересечений с осью Ox;

f(0)=3 \Rightarrow пересечение в точке (0; 3).

Исследуем производную: f'=\frac{(4x-8)(x^2-3x+3)-(2x^2-8x+9)(2x-3)}{(x^2-3x+3)^2} = \frac {2x^2-6x+3}{(x^2-3x+3)^2}

2x^2-6x+3=0 \quad x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} - точки экстремума.

Исследуем на монотонность:

f'(0) = \frac{1}{3} \Rightarrow монотонно возрастает при x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{3}}{2});

f'(2) = -1 \Rightarrow монотонно убывает при x \in (\frac{3 - \sqrt{3}}{2}; \frac{3 + \sqrt{3}}{2});

f'(4) = \frac{11}{49} \Rightarrow монотонно возрастает при x \in (\frac{3 + \sqrt{3}}{2}; +\infty). f(x_1)=\frac{2(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})^2-8(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})+9}{(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})^2-3(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})+3} = \frac{(6+3\sqrt{3})-(12+4\sqrt{3})+9}{\frac{6+3\sqrt{3}}{2}-\frac{9+3\sqrt{3}}{2}+3} = \frac{3-\sqrt{3}}{1{,}5}=

= 2-\frac{2}{3}\sqrt{3} - минимум

f(x_2)=\frac{2(\frac{3 - \sqrt{3}}{2})^2-8(\frac{3 - \sqrt{3}}{2})+9}{(\frac{3 - \sqrt{3}}{2})^2-3(\frac{3 - \sqrt{3}}{2})+3} = \frac{(6-3\sqrt{3})-(12-4\sqrt{3})+9}{\frac{6-3\sqrt{3}}{2}-\frac{9-3\sqrt{3}}{2}+3} = \frac{3+\sqrt{3}}{1{,}5}=

= 2+\frac{2}{3}\sqrt{3} - максимум

Исследуем вторую производную: f''=\frac{(4x-6)(x^2-3x+3)^2-2(2x-3)(x^2-3x+3)(2x^2-6x+3)}{(x^2-3x+3)^4}=

=(4x-6) \frac{(x^2-3x+3)-(2x^2-6x+3)}{(x^2-3x+3)^2} = -\frac{2x(2x-3)(x-3)}{(x^2-3x+3)^3}

Возможные точки перегиба: 0; 1,5; 3.

Исследуем знаки интервалов:


\begin{cases} f''(-1)>0 \\ f''(1)<0 \\ f''(2)>0 \\ f''(4)<0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0\\ x=1{,}5 \\ x=3 \\ \end{cases} - точки перегиба.

Значение функции в точках перегиба: f(0)=3; f(1{,}5)=2; f(3)=1.

Функция выпукла при x \in (-\infty; 0) \bigcup (1{,}5; 3) и вогнута при x \in (0; 1{,}5) \bigcup (3; +\infty)

Graph3.png

График к заданию 5

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики