Заочная группа СШФ СФУ вики
Регистрация
Advertisement

Задание 1[]

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой . Построить графики прямой и точки. Рассмотрим на примере задания из варианта 8.

8.

Так как в этом задании ни в одном уравнении кривой нет слагаемого вида , воспользуемся более простым свойством

  1. для обеих переменных есть квадраты и они с одинаковыми знаками – эллипс;
  2. для обеих переменных есть квадраты и они с разными знаками – гипербола;
  3. только одна переменная имеет квадратное слагаемое – парабола.

В рассматриваемом примере есть только слагаемое , следовательно это парабола.

Канонический вид кривых:

  1. эллипс: ;
  2. гипербола: ;
  3. парабола: или .


Приводим нашу кривую к каноническому виду:

Для нахождения точек пересечения выразим в уравнении прямой одну переменную через другую: И подставим в получившееся уравнение кривой:

Graph1

График к заданию 1

или


Окончательно находим точки пересечения:


Задание 2[]

Требуется:

  1. построить по точкам график функции в полярной системе координат. Значение функции вычислять в точках
  2. найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось - с полярной осью;
  3. определить вид кривой.


Возьмем задачу для 14 варианта: .

Вычисляем функцию в точках:

Graph

График к заданию №2

Чтобы перевести уравнение кривой из полярных координат в декартовы, сперва вспомним свзяь между ними:

или

Преобразовываем правую часть уравнения:

Левая часть преобразовывается по формуле перехода, получаем:

И, если интересно, эта кривая называется лемнискатой Бернулли.

Задание 3[]

Вычислить пределы функций не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

Вариант 1

1. – сократим числитель и знаменатель на

2.

3.

т.к. при эквивалентны получаем:

4. (просьба уточнить: у меня в знаменатели степени x+7. опечатка?)

Заменим :

Задание 6[]

А. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа . Изобразить числа , и на комплексной плоскости. вычислить по формуле Муавра.

3.

Переведем в алгебраическую форму:

Суммируем:

На комплексной плоскости эти точки имеют координаты .

Для использования формулы Муавра переведем обратно в тригонометрический вид:

По формуле:


Б. Решить уравнение и изобразить его корни на комплексной плоскости.

Проверить, что

19.

Легко заметить корень . Согласно теореме Безу мы можем разделить уравнение на

Решая получившееся квадратное уравнение, получаем еще два корня:

Проверка формул Виета кубического уравнения несложна.


Замечание. В общем случае кубические уравнения решаются по формуле Кардано.

Advertisement