Контрольная работа №1 [ ]
Задача 1. [ ]
По координатам вершин пирамиды
A
1
A
2
A
3
A
4
{\displaystyle A_1A_2A_3A_4}
найти:
длины ребер
A
1
A
2
{\displaystyle A_1A_2}
и
A
1
A
3
{\displaystyle A_1A_3}
;
угол между ребрами
A
1
A
2
{\displaystyle A_1A_2}
и
A
1
A
3
{\displaystyle A_1A_3}
;
площадь грани
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle A_1A_2A_3}
;
объем пирамиды;
уравнения прямых
A
1
A
2
{\displaystyle A_1A_2}
и
A
1
A
3
{\displaystyle A_1A_3}
;
уравнения плоскостей
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle A_1A_2A_3}
и
A
1
A
2
A
4
{\displaystyle A_1A_2A_4}
;
угол между плоскостями
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle A_1A_2A_3}
и
A
1
A
2
A
4
{\displaystyle A_1A_2A_4}
.
Вариант 15.
A
1
(
3
;
0
;
2
)
,
A
2
(
2
;
0
;
6
)
,
A
3
(
1
;
1
;
2
)
,
A
4
(
3
;
2
;
4
)
{\displaystyle A_{1}(3;0;2),A_{2}(2;0;6),A_{3}(1;1;2),A_{4}(3;2;4)}
1.
|
A
i
A
j
→
|
=
(
x
j
−
x
i
)
2
+
(
y
j
−
y
i
)
2
+
(
z
j
−
z
i
)
2
{\displaystyle |{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}|={\sqrt {(x_{j}-x_{i})^{2}+(y_{j}-y_{i})^{2}+(z_{j}-z_{i})^{2}}}}
A
1
A
2
→
(
−
1
;
0
;
4
)
|
A
1
A
2
→
|
=
1
+
0
+
16
=
17
{\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}A_{2}}}(-1;0;4)\qquad |{\overrightarrow {A_{1}A_{2}}}|={\sqrt {1+0+16}}={\sqrt {17}}}
A
1
A
3
→
(
−
2
;
1
;
0
)
|
A
1
A
3
→
|
=
4
+
1
+
0
=
5
{\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}A_{3}}}(-2;1;0)\qquad |{\overrightarrow {A_{1}A_{3}}}|={\sqrt {4+1+0}}={\sqrt {5}}}
2.
cos
A
2
A
1
A
3
=
A
1
A
2
→
⋅
A
1
A
3
→
|
A
1
A
2
→
|
|
A
1
A
3
→
|
{\displaystyle \cos A_{2}A_{1}A_{3}={\frac {{\overrightarrow {A_{1}A_{2}}}\cdot {\overrightarrow {A_{1}A_{3}}}}{|{\overrightarrow {A_{1}A_{2}}}||{\overrightarrow {A_{1}A_{3}}}|}}}
cos
A
2
A
1
A
3
=
2
+
0
+
0
17
5
=
2
85
{\displaystyle \cos A_{2}A_{1}A_{3}={\frac {2+0+0}{{\sqrt {17}}{\sqrt {5}}}}={\frac {2}{\sqrt {85}}}}
3.
S
(
A
1
A
2
A
3
)
=
1
2
|
A
1
A
2
→
×
A
1
A
3
→
|
{\displaystyle S(A_{1}A_{2}A_{3})={\frac {1}{2}}|{\overrightarrow {A_{1}A_{2}}}\times {\overrightarrow {A_{1}A_{3}}}|}
A
1
A
2
→
×
A
1
A
3
→
=
(
i
→
j
→
k
→
−
1
0
4
−
2
1
0
)
=
(
−
4
;
−
8
;
−
1
)
{\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}A_{2}}}\times {\overrightarrow {A_{1}A_{3}}}={\begin{pmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\-1&0&4\\-2&1&0\end{pmatrix}}=(-4;-8;-1)}
S
(
A
1
A
2
A
3
)
=
1
2
16
+
64
+
1
=
4
,
5
{\displaystyle S(A_{1}A_{2}A_{3})={\frac {1}{2}}{\sqrt {16+64+1}}=4{,}5}
4.
V
(
A
1
A
2
A
3
A
4
)
=
1
6
|
(
A
1
A
2
→
,
A
1
A
3
→
,
A
1
A
4
→
)
|
{\displaystyle V(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4})={\frac {1}{6}}|({\overrightarrow {A_{1}A_{2}}},{\overrightarrow {A_{1}A_{3}}},{\overrightarrow {A_{1}A_{4}}})|}
A
1
A
4
→
(
0
;
2
;
2
)
{\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}A_{4}}}(0;2;2)}
(
A
1
A
2
→
,
A
1
A
3
→
,
A
1
A
4
→
)
=
|
−
1
0
4
−
2
1
0
0
2
2
|
=
−
18
{\displaystyle ({\overrightarrow {A_{1}A_{2}}},{\overrightarrow {A_{1}A_{3}}},{\overrightarrow {A_{1}A_{4}}})={\begin{vmatrix}-1&0&4\\-2&1&0\\0&2&2\end{vmatrix}}=-18}
V
(
A
1
A
2
A
3
A
4
)
=
1
6
⋅
|
−
18
|
=
3
{\displaystyle V(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4})={\frac {1}{6}}\cdot |-18|=3}
5. Уравнение прямой:
x
−
x
1
x
2
−
x
1
=
y
−
y
1
y
2
−
y
1
=
z
−
z
1
z
2
−
z
1
{\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}}
A
1
A
2
:
x
−
3
2
−
3
=
y
−
0
0
−
0
=
z
−
2
6
−
2
⇒
{
z
=
14
−
4
x
y
=
0
{\displaystyle A_{1}A_{2}:{\frac {x-3}{2-3}}={\frac {y-0}{0-0}}={\frac {z-2}{6-2}}\Rightarrow {\begin{cases}z=14-4x\\y=0\end{cases}}}
A
1
A
3
:
x
−
3
1
−
3
=
y
−
0
1
−
0
=
z
−
2
2
−
2
⇒
{
x
=
3
−
2
y
z
=
2
{\displaystyle A_{1}A_{3}:{\frac {x-3}{1-3}}={\frac {y-0}{1-0}}={\frac {z-2}{2-2}}\Rightarrow {\begin{cases}x=3-2y\\z=2\end{cases}}}
6. Уравнение плоскости:
|
x
−
x
1
y
−
y
1
z
−
z
1
x
2
−
x
1
y
2
−
y
1
z
2
−
z
1
x
3
−
x
1
y
3
−
y
1
z
3
−
z
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{vmatrix}}=0}
A
1
A
2
A
3
:
|
x
−
3
y
z
−
2
−
1
0
4
−
2
1
0
|
=
0
⇒
4
x
+
8
y
+
z
−
14
=
0
{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}:{\begin{vmatrix}x-3&y&z-2\\-1&0&4\\-2&1&0\\\end{vmatrix}}=0\Rightarrow 4x+8y+z-14=0}
A
1
A
2
A
4
:
|
x
−
3
y
z
−
2
−
1
0
4
0
2
2
|
=
0
⇒
4
x
−
y
+
z
−
14
=
0
{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{4}:{\begin{vmatrix}x-3&y&z-2\\-1&0&4\\0&2&2\\\end{vmatrix}}=0\Rightarrow 4x-y+z-14=0}
7. Угол между плоскостями равен углу между ортогональными им векторами. Для плоскости
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
{\displaystyle A x + B y + C z + D = 0}
ортогональным будет вектор
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle (A,B,C)}
cos
α
=
16
−
8
+
1
16
+
64
+
1
16
+
1
+
1
=
1
3
2
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {16-8+1}{{\sqrt {16+64+1}}{\sqrt {16+1+1}}}}={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}}
Задача 2. [ ]
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
найти ее решение с помощью формул Крамера;
записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.
Вариант 17.
{
x
1
+
3
x
2
−
2
x
3
=
−
5
x
1
+
9
x
2
−
4
x
3
=
−
1
−
2
x
1
+
6
x
2
−
3
x
3
=
6
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=-5\\x_{1}+9x_{2}-4x_{3}=-1\\-2x_{1}+6x_{2}-3x_{3}=6\end{cases}}}
1.
Δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
=
|
1
3
−
2
1
9
−
4
−
2
6
−
3
|
=
−
27
−
12
+
24
−
36
+
9
+
24
=
−
18
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-2\\1&9&-4\\-2&6&-3\\\end{vmatrix}}=-27-12+24-36+9+24=-18}
Δ
1
=
|
b
1
a
12
a
13
b
2
a
22
a
23
b
3
a
32
a
33
|
=
|
−
5
3
−
2
−
1
9
−
4
6
6
−
3
|
=
135
+
12
−
72
+
108
−
9
−
120
=
54
x
1
=
Δ
1
Δ
=
−
3
{\displaystyle \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-5&3&-2\\-1&9&-4\\6&6&-3\\\end{vmatrix}}=135+12-72+108-9-120=54\qquad x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }}=-3}
Δ
2
=
|
a
11
b
1
a
13
a
21
b
2
a
23
a
31
b
3
a
33
|
=
|
1
−
5
−
2
1
−
1
−
4
−
2
6
−
3
|
=
3
−
12
−
40
+
4
−
15
+
24
=
−
36
x
2
=
Δ
2
Δ
=
2
{\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-5&-2\\1&-1&-4\\-2&6&-3\\\end{vmatrix}}=3-12-40+4-15+24=-36\qquad x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }}=2}
Δ
3
=
|
a
11
a
12
b
1
a
21
a
22
b
2
a
31
a
32
b
3
|
=
|
1
3
−
5
1
9
−
1
−
2
6
6
|
=
54
−
30
+
6
−
90
−
18
+
6
=
−
72
x
3
=
Δ
3
Δ
=
4
{\displaystyle \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-5\\1&9&-1\\-2&6&6\\\end{vmatrix}}=54-30+6-90-18+6=-72\qquad x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}=4}
2.
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
(
1
3
−
2
1
9
−
4
−
2
6
−
3
)
(
x
1
x
2
x
3
)
=
(
−
5
−
1
6
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&-2\\1&9&-4\\-2&6&-3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5\\-1\\6\end{pmatrix}}}
x
=
A
−
1
b
{\displaystyle x=A^{-1} b}
A
−
1
=
1
det
A
(
A
11
A
21
A
31
A
12
A
22
A
32
A
13
A
23
A
33
)
=
−
1
18
(
−
3
−
3
6
11
−
7
2
24
−
12
6
)
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\\\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{18}}{\begin{pmatrix}-3&-3&6\\11&-7&2\\24&-12&6\\\end{pmatrix}}}
(
x
1
x
2
x
3
)
=
−
1
18
(
−
3
−
3
6
11
−
7
2
24
−
12
6
)
(
−
5
−
1
6
)
=
(
−
3
2
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{18}}{\begin{pmatrix}-3&-3&6\\11&-7&2\\24&-12&6\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5\\-1\\6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}}
Задача 3. [ ]
Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Вариант 9.
{
x
1
+
3
x
3
+
x
4
=
0
3
x
1
−
2
x
2
+
8
x
3
+
4
x
4
=
0
−
x
1
+
2
x
2
−
2
x
3
−
2
x
4
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+3x_{3}+x_{4}=0\\3x_{1}-2x_{2}+8x_{3}+4x_{4}=0\\-x_{1}+2x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=0\end{cases}}}
(
1
0
3
1
3
−
2
8
4
−
1
2
−
2
−
2
|
0
0
0
)
∼
(
1
0
3
1
0
−
2
−
1
1
0
2
1
−
1
|
0
0
0
)
∼
(
1
0
3
1
0
2
1
−
1
|
0
0
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}1&0&3&1\\3&-2&8&4\\-1&2&-2&-2\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right.\right)\sim \left({\begin{matrix}1&0&3&1\\0&-2&-1&1\\0&2&1&-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right.\right)\sim \left({\begin{matrix}1&0&3&1\\0&2&1&-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right.\right)}
x
1
=
−
3
x
3
−
x
4
x
2
=
x
4
−
x
3
2
{\displaystyle x_{1}=-3x_{3}-x_{4}\qquad x_{2}={\frac {x_{4}-x_{3}}{2}}}