ФЭНДОМ


Контрольная работа №1Править

Задача 1.Править

По координатам вершин пирамиды $ A_1A_2A_3A_4 $ найти:

  1. длины ребер $ A_1A_2 $ и $ A_1A_3 $;
  2. угол между ребрами $ A_1A_2 $ и $ A_1A_3 $;
  3. площадь грани $ A_1A_2A_3 $;
  4. объем пирамиды;
  5. уравнения прямых $ A_1A_2 $ и $ A_1A_3 $;
  6. уравнения плоскостей $ A_1A_2A_3 $ и $ A_1A_2A_4 $;
  7. угол между плоскостями $ A_1A_2A_3 $ и $ A_1A_2A_4 $.

Вариант 15. $ A_1(3; 0; 2), A_2(2; 0; 6), A_3(1; 1; 2), A_4(3; 2; 4) $

1. $ |\overrightarrow{A_iA_j}| = \sqrt{(x_j-x_i)^2+(y_j-y_i)^2+(z_j-z_i)^2} $

$ \overrightarrow{A_1A_2}(-1; 0; 4) \qquad |\overrightarrow{A_1A_2}|=\sqrt{1+0+16}=\sqrt{17} $

$ \overrightarrow{A_1A_3}(-2; 1; 0) \qquad |\overrightarrow{A_1A_3}|=\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5} $

2. $ \cos A_2A_1A_3=\frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}||\overrightarrow{A_1A_3}|} $

$ \cos A_2A_1A_3=\frac{2+0+0}{\sqrt{17}\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{85}} $

3. $ S(A_1A_2A_3)=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}| $

$ \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = (-4; -8; -1) $

$ S(A_1A_2A_3)=\frac{1}{2}\sqrt{16+64+1}=4{,}5 $

4. $ V(A_1A_2A_3A_4)=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}, \overrightarrow{A_1A_4})| $

$ \overrightarrow{A_1A_4}(0; 2; 2) $

$ (\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}, \overrightarrow{A_1A_4})=\begin{vmatrix}-1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}=-18 $

$ V(A_1A_2A_3A_4)=\frac{1}{6}\cdot|-18|=3 $

5. Уравнение прямой: $ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} $

$ A_1A_2: \frac{x-3}{2-3}=\frac{y-0}{0-0}=\frac{z-2}{6-2} \Rightarrow \begin{cases}z=14-4x \\ y=0 \end{cases} $

$ A_1A_3: \frac{x-3}{1-3}=\frac{y-0}{1-0}=\frac{z-2}{2-2} \Rightarrow \begin{cases}x=3-2y \\ z=2 \end{cases} $

6. Уравнение плоскости: $ \begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{vmatrix}=0 $

$ A_1A_2A_3: \begin{vmatrix}x-3&y&z-2\\ -1&0&4\\ -2&1&0\\ \end{vmatrix}=0 \Rightarrow 4x+8y+z-14=0 $

$ A_1A_2A_4: \begin{vmatrix}x-3&y&z-2\\ -1&0&4\\ 0&2&2\\ \end{vmatrix}=0 \Rightarrow 4x-y+z-14=0 $

7. Угол между плоскостями равен углу между ортогональными им векторами. Для плоскости $ Ax+By+Cz+D=0 $ ортогональным будет вектор $ (A, B, C) $

$ \cos\alpha=\frac{16-8+1}{\sqrt{16+64+1}\sqrt{16+1+1}}=\frac{1}{3\sqrt{2}} $

Задача 2.Править

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

  1. найти ее решение с помощью формул Крамера;
  2. записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

Вариант 17.$ \begin{cases} x_1+3x_2-2x_3=-5 \\ x_1+9x_2-4x_3=-1 \\ -2x_1+6x_2-3x_3=6 \end{cases} $

1. $ \Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 1 & 9 & -4 \\ -2 & 6 & -3 \\ \end{vmatrix} = -27-12+24-36+9+24=-18 $

$ \Delta_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -5 & 3 & -2 \\ -1 & 9 & -4 \\ 6 & 6 & -3 \\ \end{vmatrix} = 135+12-72+108-9-120=54 \qquad x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=-3 $

$ \Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -5 & -2 \\ 1 & -1 & -4 \\ -2 & 6 & -3 \\ \end{vmatrix} = 3-12-40+4-15+24=-36 \qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=2 $

$ \Delta_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 1 & 9 & -1 \\ -2 & 6 & 6 \\ \end{vmatrix} = 54-30+6-90-18+6=-72 \qquad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=4 $

2. $ Ax=b $

$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 1 & 9 & -4 \\-2 & 6 & -3 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} $

$ x=A^{-1}b $

$ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & A_{31} \\A_{12} & A_{22} & A_{32} \\A_{13} & A_{23} & A_{33} \\\end{pmatrix} = -\frac{1}{18}\begin{pmatrix}-3 & -3 & 6 \\11 & -7 & 2 \\24 & -12 & 6 \\\end{pmatrix} $

$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}-3 & -3 & 6 \\11 & -7 & 2 \\24 & -12 & 6 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} $

Задача 3.Править

Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Вариант 9.

$ \begin{cases} x_1+3x_3+x_4=0 \\ 3x_1-2x_2+8x_3+4x_4=0 \\ -x_1+2x_2-2x_3-2x_4=0 \end{cases} $

$ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right. \right) \sim \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right. \right) \sim \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right. \right) $

$ x_1=-3x_3-x_4 \qquad x_2=\frac{x_4-x_3}{2} $