ФЭНДОМ


Контрольная работа №1Править

Задача 1.Править

По координатам вершин пирамиды A_1A_2A_3A_4 найти:

  1. длины ребер A_1A_2 и A_1A_3;
  2. угол между ребрами A_1A_2 и A_1A_3;
  3. площадь грани A_1A_2A_3;
  4. объем пирамиды;
  5. уравнения прямых A_1A_2 и A_1A_3;
  6. уравнения плоскостей A_1A_2A_3 и A_1A_2A_4;
  7. угол между плоскостями A_1A_2A_3 и A_1A_2A_4.

Вариант 15. A_1(3; 0; 2), A_2(2; 0; 6), A_3(1; 1; 2), A_4(3; 2; 4)

1. |\overrightarrow{A_iA_j}| = \sqrt{(x_j-x_i)^2+(y_j-y_i)^2+(z_j-z_i)^2}

\overrightarrow{A_1A_2}(-1; 0; 4) \qquad |\overrightarrow{A_1A_2}|=\sqrt{1+0+16}=\sqrt{17}

\overrightarrow{A_1A_3}(-2; 1; 0) \qquad |\overrightarrow{A_1A_3}|=\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}

2. \cos A_2A_1A_3=\frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}||\overrightarrow{A_1A_3}|}

\cos A_2A_1A_3=\frac{2+0+0}{\sqrt{17}\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{85}}

3. S(A_1A_2A_3)=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|

\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = (-4; -8; -1)

S(A_1A_2A_3)=\frac{1}{2}\sqrt{16+64+1}=4{,}5

4. V(A_1A_2A_3A_4)=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}, \overrightarrow{A_1A_4})|

\overrightarrow{A_1A_4}(0; 2; 2)

(\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}, \overrightarrow{A_1A_4})=\begin{vmatrix}-1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \\  0 & 2 & 2 \end{vmatrix}=-18

V(A_1A_2A_3A_4)=\frac{1}{6}\cdot|-18|=3

5. Уравнение прямой: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}

A_1A_2: \frac{x-3}{2-3}=\frac{y-0}{0-0}=\frac{z-2}{6-2} \Rightarrow \begin{cases}z=14-4x \\ y=0 \end{cases}

A_1A_3: \frac{x-3}{1-3}=\frac{y-0}{1-0}=\frac{z-2}{2-2} \Rightarrow \begin{cases}x=3-2y \\ z=2 \end{cases}

6. Уравнение плоскости: \begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{vmatrix}=0

A_1A_2A_3: \begin{vmatrix}x-3&y&z-2\\ -1&0&4\\ -2&1&0\\ \end{vmatrix}=0 \Rightarrow 4x+8y+z-14=0

A_1A_2A_4: \begin{vmatrix}x-3&y&z-2\\ -1&0&4\\ 0&2&2\\ \end{vmatrix}=0 \Rightarrow 4x-y+z-14=0

7. Угол между плоскостями равен углу между ортогональными им векторами. Для плоскости Ax+By+Cz+D=0 ортогональным будет вектор (A, B, C)

\cos\alpha=\frac{16-8+1}{\sqrt{16+64+1}\sqrt{16+1+1}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}

Задача 2.Править

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

  1. найти ее решение с помощью формул Крамера;
  2. записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

Вариант 17.\begin{cases}
x_1+3x_2-2x_3=-5 \\
x_1+9x_2-4x_3=-1 \\
-2x_1+6x_2-3x_3=6 \end{cases}

1. \Delta=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
 1 & 3 & -2 \\
 1 & 9 & -4 \\
-2 & 6 & -3 \\
\end{vmatrix} = -27-12+24-36+9+24=-18

\Delta_1=\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-5 & 3 & -2 \\
-1 & 9 & -4 \\
 6 & 6 & -3 \\
\end{vmatrix} = 135+12-72+108-9-120=54 \qquad x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=-3

\Delta_2=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
 1 & -5 & -2 \\
 1 & -1 & -4 \\
-2 &  6 & -3 \\
\end{vmatrix} = 3-12-40+4-15+24=-36 \qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=2

\Delta_3=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
 1 & 3 & -5 \\
 1 & 9 & -1 \\
-2 & 6 &  6 \\
\end{vmatrix} = 54-30+6-90-18+6=-72 \qquad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=4

2. Ax=b

\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 1 & 9 & -4 \\-2 & 6 & -3 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}

x=A^{-1}b

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & A_{31} \\A_{12} & A_{22} & A_{32} \\A_{13} & A_{23} & A_{33} \\\end{pmatrix} = -\frac{1}{18}\begin{pmatrix}-3 & -3 & 6 \\11 & -7 & 2 \\24 & -12 & 6 \\\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}-3 & -3 & 6 \\11 & -7 & 2 \\24 & -12 & 6 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

Задача 3.Править

Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Вариант 9.

\begin{cases}
x_1+3x_3+x_4=0 \\
3x_1-2x_2+8x_3+4x_4=0 \\
-x_1+2x_2-2x_3-2x_4=0
\end{cases}

\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 3 & 1 \\
3 & -2 & 8 & 4 \\
-1 & 2 & -2 & -2 \end{matrix}
\left|
\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right. \right) \sim

\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & -2 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -1 \end{matrix}
\left|
\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right. \right) \sim

\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -1 \end{matrix}
\left|
\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right. \right)

x_1=-3x_3-x_4 \qquad x_2=\frac{x_4-x_3}{2}

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики